引 言                                                                                                                                                                             

對(duì)丸料進(jìn)行重力篩分在噴丸過(guò)程中具有非常重要的作用。從工程應(yīng)用的角度來(lái)看，重力篩分是分離合格與不合格丸料的方法基礎(chǔ)。螺旋重力篩分可能是最為常見(jiàn)的重力篩分方法。這種方法的歷史很長(zhǎng)并且成功地應(yīng)用在許多工業(yè)領(lǐng)域的不同類(lèi)型的丸料中。

丸料在使用過(guò)程中會(huì)發(fā)生破碎或者磨損。破碎是丸料失效的首要原因。然而，磨損并不一定會(huì)產(chǎn)生失效，其在鋼切丸的鈍化過(guò)程中還會(huì)產(chǎn)生有利的作用。因此，丸料篩分的首要目標(biāo)就是要把破碎的丸料篩分出來(lái)。

本文會(huì)闡述螺旋重力篩分的基本原理。圖1解釋了重力篩分的本質(zhì)問(wèn)題。一個(gè)置于向下斜坡上的球形丸料會(huì)獲得一個(gè)向前的旋轉(zhuǎn)速度。該向下的斜坡同時(shí)也會(huì)傾向離心軸的方向，所以會(huì)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的丸料上施加一個(gè)向內(nèi)的力F向內(nèi)。

該重力分量會(huì)隨著傾斜角β的增加而增加。同時(shí)，一個(gè)相反的向外離心力F向外也會(huì)作用在丸料上。該離心力會(huì)與向前旋轉(zhuǎn)速度的平方成正比。如果向外的力高于向內(nèi)的力，那么丸料會(huì)在沿著路徑下落的過(guò)程中向外移動(dòng)。如果向內(nèi)的力與向外的力相等，那么丸料的將會(huì)沿著恒定的半徑R運(yùn)動(dòng)，即沿著圖1中的虛線運(yùn)動(dòng)。

圖1

本篇文章將會(huì)分析螺旋重力篩分的幾何以及物理特征。將會(huì)做一些簡(jiǎn)單的假設(shè)以便于大家更好地對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的理解。哪怕是分析一個(gè)的規(guī)則的球形丸粒在重力作用下沿著螺旋斜面進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的情況都是非常困難的，更不用說(shuō)丸粒具有不規(guī)則的形狀。摩擦和能量損失會(huì)進(jìn)一步使問(wèn)題復(fù)雜化。更何況有數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的丸粒參與到螺旋重力分離的過(guò)程中。然而，本文將對(duì)于螺旋重力篩分過(guò)程進(jìn)行定量的分析。

在平坦斜坡下的重力加速 

如果把球形和近球形的丸粒放在一個(gè)陡峭的斜坡上，其速度會(huì)在重力的作用下不斷增加。那些可以被歸類(lèi)為不合格的丸粒會(huì)從斜坡上滾下來(lái)并會(huì)獲得一個(gè)相當(dāng)大的前進(jìn)速度。

（a）旋轉(zhuǎn)

圖2顯示了當(dāng)一個(gè)球體從一個(gè)角度為α的陡峭斜坡上滾下時(shí)，其會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不斷增加的向前速度以及回轉(zhuǎn)速度。加速度a與重力加速度g有關(guān)，其關(guān)系式為：

a=S*g*sinα                                    （1）

其中S是滾動(dòng)體的形狀因子，對(duì)于完美球體，其值為5/7，而其它形狀的形狀因子值會(huì)更低。其余的2/7為產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)能的部分。

在恒定的加速度下，丸粒的向前速度v與其運(yùn)動(dòng)距離s成正比。如果一個(gè)丸粒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，那么其滿足如下公式：

v2=2*a*s                                        （2）

把公式（1）中的a代入到公式（2）中，將會(huì)得到如下公式：

v2=2*S*g*sinα*s                             （3）

一個(gè)丸粒滾動(dòng)一個(gè)給定的距離s所需的時(shí)間t為：

t=2s/v                                           （4）

圖2 球體產(chǎn)生了一個(gè)向前以及旋轉(zhuǎn)的速度

（b）滾動(dòng)

丸粒的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)與其具體形狀、傾斜角以及與其它丸粒的相互作用有關(guān)。在斜坡上靜止的丸?？赡軙?huì)被其它正在下行運(yùn)動(dòng)中的丸粒撞擊而開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。這會(huì)造成丸粒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程非常的復(fù)雜。但是，通過(guò)一些簡(jiǎn)單的試驗(yàn)可以確定滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重要特征。例如，把一個(gè)木板以一定的角度靠在墻上，上面放置一些各種不規(guī)則形狀的丸粒。如果木板的傾斜角為45°，那么每種形狀的丸粒都會(huì)沿著斜坡加速下滑。而如果木板的傾斜角為20°，那么沒(méi)有一種形狀的丸粒會(huì)下滑。對(duì)于每種形狀的丸粒，都會(huì)有一個(gè)“安息角”，即丸粒滾動(dòng)開(kāi)始發(fā)生的角度。還有一種更為復(fù)雜的試驗(yàn)，即把一個(gè)硬塑料薄板以一定的角度放置。該薄板本身的重量和柔韌性會(huì)產(chǎn)生一個(gè)角度不斷減小的斜坡，如圖3所示。

圖3. 不規(guī)則形狀的丸粒在一個(gè)角度不斷減小的斜坡上的不同位置

放置在位置1上的一個(gè)不規(guī)則形狀的丸粒將會(huì)沿著斜坡滾動(dòng)下滑，但是隨著傾斜角的降低，其下滑的速度會(huì)減小并最終會(huì)在某個(gè)位置（例如位置3）靜止。對(duì)于給定形狀的丸粒，其尺寸越大，那么位置3的距離會(huì)越遠(yuǎn)。該現(xiàn)象就如我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中觀察到的大尺寸巖石會(huì)比小尺寸巖石的滾動(dòng)距離更遠(yuǎn)。如果我們一開(kāi)始把不規(guī)則形狀的丸粒放置于位置2，那么丸粒會(huì)保持靜止，我們一般情況下把該角度稱(chēng)之為“安息角”。

螺旋分離器的幾何尺寸

圖4給出了在工業(yè)應(yīng)用中螺旋分離器的定量問(wèn)題。從圖4中可以看出，螺旋分離器的特征是一些陡峭的向下斜面以垂直軸為中心組成的螺旋體。在這些斜面中，相對(duì)于靠近螺旋體中心位置的斜面，靠近螺旋體邊緣位置的斜面更為平緩。對(duì)于圖4中所顯示的分離器，共有五個(gè)同心的左手系的螺旋斜面組成，可以分別單獨(dú)分離丸料。

圖4. 在螺旋分離器中靠近內(nèi)部的斜面更為陡峭而靠近邊緣的斜面更為平緩

一個(gè)可以定量了解螺旋分離器的方法就是組裝一個(gè)簡(jiǎn)易的分離器模型。組裝模型所需要的工具有盤(pán)狀的紙板、膠水和一個(gè)垂直管。圖5為組裝示意圖。

圖5. 把紙盤(pán)從AB處剪開(kāi)后可形成簡(jiǎn)易的螺旋分離器模型

如果把圖5中的紙盤(pán)沿AB剪開(kāi)并拎起靠近右手的邊緣，那么我可以得到一個(gè)右旋螺旋體?！坝倚钡亩x類(lèi)比為使用右手可以順時(shí)針地把螺釘擰進(jìn)螺母中。相反地，拎起靠近左手的邊緣，我們可以得到一個(gè)左旋螺旋體。如果我們繼續(xù)拎著邊緣位置往上抬，那么內(nèi)徑D1會(huì)一直減小直到紙盤(pán)的內(nèi)徑碰觸到垂直管，此時(shí)D1=D，如圖6所示。然后把此時(shí)的螺旋紙板與垂直管用膠水粘起來(lái)后，簡(jiǎn)易模型就做好了。

圖6 沿著直徑為D的垂直體（圓筒）制成的左旋螺旋體

如果對(duì)螺旋分離器的幾何尺寸進(jìn)行定量化，那么需要一些基本的數(shù)學(xué)公式。圖6中所示的螺旋路徑P-H為直角三角形的斜邊，如圖7所示。AB2=AC2+BC2。如果斜角α為45°，那么如6中的節(jié)距必須與圓柱體的周長(zhǎng)相等，在圖7中表示就是AC=BC，同時(shí)可得AB=AC√2。螺旋體的路徑長(zhǎng)度為圖5中孔的周長(zhǎng)。因此，對(duì)于45°的內(nèi)部坡道（圖4中的藍(lán)色角度），D1為D√2，其中D為圖6中的垂直管的直徑。圓柱周長(zhǎng)BC=π*D，可得節(jié)距長(zhǎng)度也為π*D，螺旋路徑長(zhǎng)度為π*D√2。

圖7. 螺旋路徑為由節(jié)距以及圓柱周長(zhǎng)組成的直角三角形的斜邊

圓紙板的外部邊緣位置形成了另外一個(gè)螺旋體，其路徑長(zhǎng)度更長(zhǎng)，為π*D0，如圖5所示。該螺旋體的斜率取決于D0以及節(jié)距的大小。例如，如果圓柱的直徑為100mm，形成的螺旋直徑為500mm，內(nèi)坡的角度為45°，那么該螺旋體的外部邊緣的角度將為11.3°（如圖4所示，黃色角度）。形成的螺旋體將會(huì)朝著支撐圓柱體向內(nèi)傾斜。這就形成了圖1中的重要角度β，可用下式表達(dá)：

tanβ=π*D1/2*(D2-D1)        （5）

其中D1為圓柱體直徑，D2為所形成的圓柱體直徑。

對(duì)于上述的例子中，如果D1=100mm，D2=500mm，那么可得β=21.4°。

工業(yè)上使用的螺旋分離器經(jīng)常另具一個(gè)增加的幾何特征，即其螺旋體的半徑r會(huì)不斷地穩(wěn)步增加，同時(shí)與圓柱體相連接的陡峭斜坡不受影響。沖裁出的薄板要素如圖8所示。

圖8. 螺旋體中不斷變化的半徑r

滾動(dòng)中丸粒的外向力和內(nèi)向力

（a）內(nèi)向力

對(duì)于給定的內(nèi)傾角β，向下滾動(dòng)的丸粒的內(nèi)向力是恒定的。該內(nèi)向力也稱(chēng)之為“向心力”（因?yàn)樵摿κ浅瘍?nèi)的）。因?yàn)榱Φ扔谫|(zhì)量乘以加速度，那么向心力CP可以由下式表示：

CP=m*g*sinβ               （6）

螺旋體的螺旋線在第一次轉(zhuǎn)角時(shí)需要保持一個(gè)陡峭的內(nèi)角，如圖4所示，其目的為限制所有向下運(yùn)動(dòng)的丸料能夠圍繞圓柱體運(yùn)動(dòng)。此后，螺旋體的外徑不斷增大，而β角則不斷減小。

（b）外向力

隨著滾動(dòng)的丸粒不斷地圍繞中心圓柱體運(yùn)動(dòng)（同時(shí)也在進(jìn)行向下運(yùn)動(dòng)），它們也會(huì)受到外向離心力CF的作用。相應(yīng)的外向加速度為v2/r，其中v為丸粒向前的速度，r為其運(yùn)動(dòng)軌跡的圓周半徑。隨著丸粒滾動(dòng)的速度不斷地增加，其沿著螺旋體運(yùn)動(dòng)的外向力也不斷地增加，因此可得：

CF=m*v2/r                （7）

（c）凈外向加速度

圖9顯示了丸粒在螺旋體上運(yùn)動(dòng)時(shí)其反向的力。凈力決定了丸粒是向內(nèi)還是向外運(yùn)動(dòng)。CF與圓柱體的中軸線垂直，所以其與CP相反的力必須要進(jìn)行分解。因此，作用在丸粒上的凈力為CFcosβ-CP。如果β的值比較大，那么凈力會(huì)更傾向于向內(nèi)。對(duì)于上述的兩種相反的力，其質(zhì)量是相同的。因此，結(jié)合公式（6）和公式（7），其凈加速度anet可得：

anet=cosβ*v2/r-g*sinβ   （8）

圖9. 向下運(yùn)動(dòng)的圓形丸粒的徑向力

一個(gè)向下滾動(dòng)的丸粒的凈徑向加速度如圖10所示。

在截面1時(shí)，丸粒具有一個(gè)比較大的向內(nèi)加速度（如紅色箭頭所示），所以其會(huì)向圓柱體方向運(yùn)動(dòng)。隨著丸粒向下的速度不斷增加，其離心力也不斷增加，導(dǎo)致其向內(nèi)加速的傾向減弱，最終在截面4時(shí)，丸粒的徑向加速度為0。隨后，隨著丸粒的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，其凈加速度方向?yàn)橥庀?，進(jìn)而丸粒會(huì)逐漸遠(yuǎn)離圓柱體。在截面7時(shí)，丸粒離開(kāi)了邊緣位置并作為不合格丸料而被單獨(dú)收集。

圖10. 螺旋體的樹(shù)形截面顯示了一個(gè)向下運(yùn)動(dòng)的球形丸粒的向外運(yùn)動(dòng)軌跡

不合格丸料的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

不規(guī)則形狀的丸粒同樣也可以產(chǎn)生一個(gè)向下的速度，因此也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)離心力。與規(guī)則形狀丸料相比，其最關(guān)鍵的不同是其向下的加速度會(huì)很快地減小為零，這是因?yàn)殡S著丸粒往外運(yùn)動(dòng)，螺旋體的斜率也會(huì)減小。結(jié)果，不規(guī)則的丸粒不能產(chǎn)生足夠的速度以及凈徑向加速度來(lái)讓它們繼續(xù)向外運(yùn)動(dòng)，所以這些不合格的丸粒會(huì)在每個(gè)螺旋斜坡的底部被單獨(dú)收集。

如之前所述，相較于小尺寸不規(guī)則形狀的丸粒，大尺寸不規(guī)則形狀的丸粒的滾動(dòng)速度更快。所以在工業(yè)應(yīng)用中，使用更大直徑的螺旋體以適應(yīng)更大尺寸范圍的丸料。通過(guò)把螺旋體的直徑加大，其平均β角也會(huì)進(jìn)行減小，這樣丸粒的徑向移動(dòng)距離會(huì)增加，這就為大尺寸不規(guī)則的丸粒的向外移動(dòng)提供了更多障礙。

輸入和輸出

在螺旋分離器的頂部控制丸料的輸入量對(duì)于有效的篩分是非常關(guān)鍵的。每個(gè)螺旋分離器只能承受一個(gè)非常低的輸入量。圖11顯示了上述問(wèn)題的一個(gè)工業(yè)解決方法。丸料會(huì)通過(guò)一個(gè)普通閥門(mén)送入到一個(gè)錐形筒中，然后被均分到五個(gè)獨(dú)立的螺旋體中。也可以采用Magnavalve＠閥而非普通閥門(mén)對(duì)丸料進(jìn)行分流來(lái)對(duì)丸流量進(jìn)行精確控制，或者也可以采用一個(gè)振動(dòng)斜進(jìn)料嘴。

圖11. 把丸粒分流到五個(gè)單獨(dú)螺旋篩分器中的錐形筒

從螺旋分離器中篩分出來(lái)的丸料分別由合格和不合格的丸料組成。圖12顯示了工業(yè)應(yīng)用中丸料篩分出來(lái)的不合格丸料的照片。

圖12.合格和不合格的丸料分離